Aspekte der Mathematik

Bahnen einer Gruppenoperation

Gruppenoperationen auf Mengen sind ein häufig verwendetes Werkzeug, um symmetrische Eigenschaften einer Menge zu beschreiben. Wenn mit einer Gruppe auf ein Element dieser Menge operieren, entstehen sogenannte Bahnen. Aber was genau sind diese Bahnen, und wofür können sie genutzt werden?

Sudoku

Sudoku ist ein weit verbreiteter Denksport. In diesem Projekt wollen wir verstehen, wie man das Konzept dieses Zahlenrätsels anhand von algebraischen Gruppen mathematisch modellieren können. Wir sehen, wie man Symmetrien erkennen kann und bestimmen, wie viele Orbiten unter einer passenden Gruppenoperation existieren, um am Ende die große Frage zu betrachten: Wie viele verschiedene Sudokus gibt es eigentlich?

Kachelungen

Wenn man eine Ebene lückenlos mit einem Kachelmuster bedeckt spricht man von Kachelungen. Man kann diese sehr anschauliche Theorie mathematisch präzisieren und stößt dabei auf spannende Muster. Wir werden in diesem Notebook auf aperiodische Kachelungen eingehen, das sind Kachelmuster, die sich in gewissem Sinne nicht wiederholen. Dabei gehen wir auf eine spannendes aktuelles Forschungsergebnis ein: Man kann die Ebene mit einer einzigen Kachelform aperiodisch kacheln!

Die Raumzeit-Algebra

Es ist weithin bekannt, dass man Raum und Zeit physikalisch nicht so trennen kann, wie man das aus dem Alltag gewohnt ist. Aber welche mathematische Struktur steckt hinter Albert Einsteins Relativitätstheorie, die das moderne Denken so fundamental geprägt hat? In diesem Notebook widmen wir uns der Raumzeit-Algebra, einem algebraischen Modell der Raumzeit. Dabei werden wir von wichtigen algebraischen Konstruktionen wie dem Tensorprodukt Gebrauch machen.

Elliptische Kurven

Elliptische Kurven zeichnen sich durch eine besondere Eigenschaft aus: Auf ihnen lässt sich eine Gruppenstruktur definieren. Wie man diese geometrisch herleiten kann und warum sie sich daher besonders gut für Kryptographie eignen, lernen wir in diesem Notebook. Wir beschäftigen uns intensiv mit der sogenannten Elliptischen-Kurven-Kryptographie und entdecken in ihr eine spannende Anwendung von endlichen Körpern.

Lösungsformeln für polynomiale Gleichungen

In diesem Projekt wollen wir uns Verallgemeinerungen der bekannten $pq$-Formel angucken. Diese funktioniert für Polynome von Grad $2$, ähnliche Formeln gibt es auch für Polynome vom Grad $3$ oder $4$. Und dann wird es es richtig spannend, man kann beweisen, dass man niemals eine allgemeine Lösungsformel für Polynome vom Grad $5$ oder höher finden kann?

Die Kreiszahl pi

Fast jeder weiss, dass Pi das Verhältnis von Durchmesser und Umfang eines Kreises ist. Verblüffenderweise lässt sich die Kreiszahl aber in vielen weiteren Stellen der Natur wiederfinden, nicht nur bei der Konstruktion des Kreises. Das glauben Sie nicht? Rechnen Sie selbst nach!

Der Goldene Schnitt

Was ist der goldene Schnitt? In diesem Projekt wollen wir die Entdeckung des goldenen Schnitts und seine Bedeutung in der Kultur und Natur verstehen. Dabei beschäftigen wir uns auch mit unterschiedlichen Arten diesen zu konstruieren.

Vollkommene Zahlen

Was sind vollkommene Zahlen? Warum sind die interessant? Wie viele gibt es? Was sind fast perfekte Zahlen (abundante, dezimiante Zahlen)? Ist die Summe der Teiler größer oder kleiner als gegebene Zahl? Wir finden mit Euklid heraus, dass es keine keine leicht abundante Zahl gibt.

Surreale Zahlen

Was sind die surrealen Zahlen und woher stammen sie? Wir wollen in diesem Projekt die Konsequenzen der Bildungs-, Vergleichs- und Rechenregeln erkunden. Dabei geht es bis zur Unendlichkeit und darüber hinaus.

Spannbäume

In diesem Notebook ist es die Aufgabe, ein Streckennetz für Fähren mit bestimmten Anforderungen zu erstellen und später zu optimieren. In diesem Zusammenhang machen wir uns mit dem Konzept von (minimalen/maximalen) Spannbäumen in Graphen vertraut und betrachten zwei Lösungsalgorithmen, mit denen sich diese in einfachen Graphen schnell berechnen lassen.

Touren in Graphen

Das bekannte Königsberger Brückenproblem aus dem 18. Jahrhundert beschäftigt sich mit der Frage, wie man die perfekte Route für einen Spaziergang findet. Erst der Mathematiker Leonard Euler konnte dieses Problem zuerst lösen. In diesem Notebook nehmen wir dieses Rätsel genau unter die Lupe, entwickeln selbst eine Lösung und untersuchen einen Lösungsalgorithmus.

Färbbarkeit von Graphen

Wir betrachten Färbbarkeit eines Graphen näher. Den Vier-Farben-Satz haben wir bereits kennen gelernt; in diesem Projekt möchten wir uns unter anderem mit der leichteren Version, dem Fünf-Farben-Satz, beschäftigen.

Planarität

Ein Graph ist (einfach gesagt) planar, wenn man in zeichnen kann ohne, dass sich Kanten kreuzen. Diese zunächst einfache Überlegung birgt viel Tiefe mit welcher wir uns in diesem Notebook auseinandersetzen wollen. Wir werden verschiedene Ergebnisse auf anschauliche und nachvollziehbare Art beweisen und so eine starke notwendige Bedingung für Planarität herleiten.

Lineare Optimierung

Das lineare Optimierungsproblem zählt zu einem der wichtigsten und bekanntesten Probleme der kombinatorischen Optimierung. Unter anderem, weil es in so vielfältigen Bereichen eine Anwendung findet: z.B. in der Produktionsplanung, der Spieltheorie, Transportplanung, Landwirtschaft oder Marketingplanung lässt sich heute nicht mehr auf lineare Programme und seinen ältesten Lösungsalgorithmus, das Simplex-Verfahren, verzichten. Hier rechnen Sie selbst nach, was jeden Tag auf den Computern von mehreren Millionen Unternehmen in Deutschland passiert.

Maximale Matchings

Ein Matching ist eine Menge von inzidenten Knotenpaaren, wobei jeder Knoten maximal einen Partner haben darf. In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit einer speziellen Form von Matchings: den maximalen Matchings. Mit Hilfe von maximalen Matchings kann man viele alltägliche Probleme lösen, z.B. wie man eine optimale Verteilung von Partnerarbeiten in einer Schulklasse findet. In diesem Notebook lernen auch Sie, wie das geht.

Perfekte Matchings

Ein Matching ist eine Menge von inzidenten Knotenpaaren, wobei jeder Knoten maximal einen Partner haben darf. In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit einer speziellen Form von Matchings: den perfekten Matchings. Hier besitzt jeder Knoten genau einen Partnerknoten besitzt. In welchen Graphen lässt sich ein solches Matching finden? Und wo findet dieses graphentheoretische Konzept eine Anwendung im Alltag?

Kürzeste Wege

In diesem Projekt machen wir einen kurzen Ausflug nach Hogsmeade und suchen eine optimale Shoppingtour, bei der die bekanntesten magischen Geschäfte des Dorfs abgeklappert werden sollen. In welcher Reihenfolge sollte man die Orte am besten besucht werden, wenn man sich möglichst schnell fortbewegen möchte? Wir lernen zwei Algorithmen kennen, mit denen wir auf diese Frage eine Antwort finden können.

Sortieralgorithmen

Es sollen n ganze Zahlen der Größe nach sortiert werden, welche Möglichkeiten gibt es, welche Vorteile haben diese? In einem jupyter-Notebook sollen diese umgesetzt werden und die Laufzeit verglichen werden. Beispiele sind Bubble-, Quick-, Merge-Sort.

Spieltheorie nach Conway

Die Spieltheorie, wie Conway sie erforscht hat, betrachtet insb. zwei-Spieler-Spiele und interessiert sich dafür, welcher Spieler gewinnt bzw. verliert. Dabei unterteilt man große Spiele in Teilspiele, die sich getrennt analysieren lassen. In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit der Formalisierung des Spiels Domineering. Dazu führen wir eine neue Zahlenmenge die Games ein, die eine Erweiterung der surrealen Zahlen sind.

Wirtschaftsspieltheorie

Entscheidungssituationen, in denen die eigene Entscheidung von der Entscheidung Anderer abhängt. Wir starten mit dem klassischen Beispiel des Gefangenendilemmas und entwickeln daraus eine Logik, die zu einem Nash-Gleichgewicht - also einer Entscheidung, in der keine beteiligte Person Anreize hat, von ihrer Entscheidung abzurücken - führt.

Urnenmodelle

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 richtige zu haben? Dieses und einige weitere Beispiele aus der Welt der Kombinatorik wollen wir formalisieren, lösen und anderen scheinbaren Paradoxa auf die Schliche kommen.

Differenzierbarkeit über den komplexen Zahlen

In der Analysis ist man gewohnt mit reellen Funktionen zu rechnen. Was passiert nun, wenn man den Definitionsbereich der reellen Zahlen durch komplexe Zahlen ersetzt? In diesem neuen Kontext ergeben sich sowohl Gemeinsamkeiten als auch Unterschiede, die wir genauer erkunden werden. Um dies zu tun, starten wir erneut mit dem Thema Differentiation und beleuchten, wie sich die Dinge verändern.

Vollständigeit und Konstruktion der reellen Zahlen

Sie haben sich in ihrem Mathematikstudium intensiv mit den reellen Zahlen beschäftigt. Aber warum sind die reellen Zahlen eigentlich so eine natürliche Konstruktion, dass sie so einen wichtigen Platz in ihrem Studium einnehmen? In diesem Notebook werden wir uns die reellen Zahlen auf natürlichem Wege selbst herleiten, indem wir von der sogenannten Vervollständigung Gebrauch machen, die man so für jeden metrischen Raum durchführen kann. Dabei werden wir wichtige, topologische Begriffe diskutieren.

Projekt in Geometrie

Kurzbeschreibung des Projekts.

Knotentheorie

Was ist ein Knoten? Wir wollen in diesem Notebook Knoten mathematisch aufziehen und verstehen, wie man diese voneinander unterscheiden kann. Unser Hauptfokus liegt auf den Invarianten, die eine gro e Rolle in der aktuellen Forschung spielen.

Konvergenz in toplogischen Räumen

In diesem Notebook fragen wir uns, was für Eigenschaften ein Raum überhaupt haben muss, damit man in ihm sinnvoll von Konvergenz sprechen kann. Dadurch kommen wir auf natürliche Art und Weise zum Begriff des topologischen Raums. Auf dem Weg dort hin beleuchten wir, wie Mathematiker überhaupt zu neuen Definitionen kommen und abstrahieren eigenständig bekannte Konzepte.

Lokale Isomorphismen

Matrix-Zerlegungen

Matrix Zerlegungen sind wichtige Werkzeuge, um Matrizen vergleichbarer zu machen und aus den vielen Informationen einer Matrix, genau die nötigen zu extrahieren. Wie man mit solchen z.B. Bilder komprimieren oder Gleichungssysteme einfacher lösen kann, wollen wir uns in diesem Notebook anschauen.

Klassifikation der Isometrien

Eine Isometrie ist eine abstandserhaltende Abbildung zwischen metrischen Räumen, also Räumen in denen wir abstand messen können. Wir wollen uns solceh Abbildungen für den Fall des $\R^3$ genauer anschauen und die verschiedenen Möglichkeiten solcher Abbildungen mathematisch anschaulich klassifizieren.

Lineare Differentialgleichungen

Viele natürliche Prozesse sind von dynamischer Natur. Beim Versuch, diese Prozesse zu modellieren, sto en wir häufig auf Gleichungen, die Funktionen und ihre Ableitungen beinhalten. Einige dieser Gleichungen gehören zur Kategorie der linearen Differentialgleichungen, die vergleichsweise leichter zu behandeln sind. In diesem Notebook werden wir uns intensiv mit diesen Differentialgleichungen auseinandersetzen, ihr Verständnis vertiefen und Lösungswege ergründen.

Tensoren, eine erste Annäherung

In diesem Projekt sollen Tensoren als Verallgemeinerung von Matrizen aufgefasst werden. Wie können wir eine n x m-Matrix als Tensor interpretieren und was sind dann n-fache Tensorprodukte?