Von Ghislain Fourier, Verity Mackscheidt und Petra Schwer
Diese Seite unterstützt das Buch „Aspekte der Mathematik: Ein Buch zum Entdecken und Weiterdenken“.
Gruppenoperationen auf Mengen sind ein häufig verwendetes Werkzeug, um symmetrische Eigenschaften einer Menge zu beschreiben. Wenn mit einer Gruppe auf ein Element dieser Menge operieren, entstehen sogenannte Bahnen. Aber was genau sind diese Bahnen, und wofür können sie genutzt werden?
Jupyter Notebook herunterladenSudoku ist ein weit verbreiteter Denksport. In diesem Projekt wollen wir verstehen, wie man das Konzept dieses Zahlenrätsels anhand von algebraischen Gruppen mathematisch modellieren können. Wir sehen, wie man Symmetrien erkennen kann und bestimmen, wie viele Orbiten unter einer passenden Gruppenoperation existieren, um am Ende die große Frage zu betrachten: Wie viele verschiedene Sudokus gibt es eigentlich?
Jupyter Notebook herunterladenWenn man eine Ebene lückenlos mit einem Kachelmuster bedeckt spricht man von Kachelungen. Man kann diese sehr anschauliche Theorie mathematisch präzisieren und stößt dabei auf spannende Muster. Wir werden in diesem Notebook auf aperiodische Kachelungen eingehen, das sind Kachelmuster, die sich in gewissem Sinne nicht wiederholen. Dabei gehen wir auf eine spannendes aktuelles Forschungsergebnis ein: Man kann die Ebene mit einer einzigen Kachelform aperiodisch kacheln!
Jupyter Notebook herunterladenEs ist weithin bekannt, dass man Raum und Zeit physikalisch nicht so trennen kann, wie man das aus dem Alltag gewohnt ist. Aber welche mathematische Struktur steckt hinter Albert Einsteins Relativitätstheorie, die das moderne Denken so fundamental geprägt hat? In diesem Notebook widmen wir uns der Raumzeit-Algebra, einem algebraischen Modell der Raumzeit. Dabei werden wir von wichtigen algebraischen Konstruktionen wie dem Tensorprodukt Gebrauch machen.
Jupyter Notebook herunterladenElliptische Kurven nehmen eine besondere Stellung in der Mathematik ein. Spätestens seit dem Beweis des großen Fermatschen Satzes durch Andrew Wiles ist ihre Tragweite deutlich geworden. In diesem Notebook stehen elliptische Kurven jedoch im Kontext der Kryptographie im Mittelpunkt. Wir lernen die mathematischen Grundlagen kennen – elementare Gruppentheorie und endliche Körper – und erarbeiten darauf aufbauend die Elliptic Curve Cryptography (ECC). Dieses Verfahren gilt als effizientere und sichere Alternative zum klassischen RSA-Kryptosystem und bildet heute einen Standard in der modernen Verschlüsselungstechnik.
Jupyter Notebook herunterladenViele polynomielle Gleichungen besitzen über einem gegebenen Körper keine Lösung. So hat etwa die Gleichung x^2 + 1 = 0 keine reellen Lösungen. Um solche Gleichungen lösbar zu machen, muss der Körper gezielt erweitert werden. In diesem Notebook lernen wir, wie man aus einem Körper K Schritt für Schritt einen algebraischen Abschluss konstruiert. Dabei werden zunächst Polynome in irreduzible Faktoren zerlegt und anschließend sogenannte Zerfällungskörper betrachtet, die durch das Hinzufügen von Nullstellen entstehen. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens entsteht schließlich ein Körper, in dem jedes Polynom mindestens eine Nullstelle besitzt.
Jupyter Notebook herunterladenDie rationalen Zahlen sind uns aus Schule und Alltag vertraut, doch ihr Aufbau lässt sich streng mathematisch aus einfacheren Strukturen herleiten. In diesem Notebook verfolgen wir diesen Weg Schritt für Schritt: Ausgehend von den natürlichen Zahlen, die sich in der Mengenlehre mit Hilfe der ZFC-Axiome konstruieren lassen, werden zunächst die ganzen Zahlen als Grothendieck-Gruppe gebildet. Anschließend entstehen die rationalen Zahlen durch die Konstruktion eines Quotientenkörpers. Dabei spielt das Konzept der algebraischen Erweiterung eine leitende Rolle und führt zu einem tieferen Verständnis von Gleichheit „bis auf Isomorphie“.
Jupyter Notebook herunterladenDie Berechnung von Nullstellen polynomieller Gleichungen gehört zu den klassischen Problemen der Mathematik. Für quadratische Polynome existiert eine bekannte Lösungsformel, und auch für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es geschlossene Darstellungen. Doch ab dem fünften Grad ändert sich die Situation grundlegend. In diesem Notebook lernen wir die Werkzeuge der Körpertheorie und der Galoistheorie kennen, mit denen sich präzise zeigen lässt: Für Polynome fünften oder höheren Grades existiert im Allgemeinen keine Formel, die ihre Nullstellen durch Radikale ausdrückt. Damit liefert die Galoistheorie eine tiefgehende Verbindung zwischen Algebra und der Lösbarkeit von Gleichungen.
Jupyter Notebook herunterladenFast jeder weiss, dass Pi das Verhältnis von Durchmesser und Umfang eines Kreises ist. Verblüffenderweise lässt sich die Kreiszahl aber in vielen weiteren Stellen der Natur wiederfinden, nicht nur bei der Konstruktion des Kreises. Das glauben Sie nicht? Rechnen Sie selbst nach!
Jupyter Notebook herunterladenWas ist der goldene Schnitt? In diesem Projekt wollen wir die Entdeckung des goldenen Schnitts und seine Bedeutung in der Kultur und Natur verstehen. Dabei beschäftigen wir uns auch mit unterschiedlichen Arten diesen zu konstruieren.
Jupyter Notebook herunterladenWas sind vollkommene Zahlen? Warum sind die interessant? Wie viele gibt es? Was sind fast perfekte Zahlen (abundante, dezimiante Zahlen)? Ist die Summe der Teiler größer oder kleiner als gegebene Zahl? Wir finden mit Euklid heraus, dass es keine keine leicht abundante Zahl gibt.
Jupyter Notebook herunterladenWas sind die surrealen Zahlen und woher stammen sie? Wir wollen in diesem Projekt die Konsequenzen der Bildungs-, Vergleichs- und Rechenregeln erkunden. Dabei geht es bis zur Unendlichkeit und darüber hinaus.
Jupyter Notebook herunterladenWie lassen sich Nachrichten so verschlüsseln, dass nur die richtige Person sie lesen kann? Mit dieser Frage beschäftigt sich die Kryptographie. Ein Kryptosystem besteht dabei aus einem Verfahren zur Verschlüsselung und einer passenden Entschlüsselung, die zusammen Vertraulichkeit sicherstellen. Im Notebook lernen wir zunächst einfache klassische Verfahren wie die Caesar- und Vigenère-Chiffre kennen, um die Grundidee der Substitution zu verstehen. Anschließend geht es um das zentrale moderne Verfahren: das RSA-Kryptosystem. Auf Basis der Zahlentheorie und insbesondere der Schwierigkeit, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen, ermöglicht RSA eine sichere Verschlüsselung. Das Notebook zeigt Schritt für Schritt, wie Schlüssel erzeugt werden, wie Verschlüsselung und Entschlüsselung funktionieren und welche mathematischen Werkzeuge – etwa der Tonelli–Shanks-Algorithmus – dabei eine Rolle spielen.
Jupyter Notebook herunterladenIn diesem Notebook ist es die Aufgabe, ein Streckennetz für Fähren mit bestimmten Anforderungen zu erstellen und später zu optimieren. In diesem Zusammenhang machen wir uns mit dem Konzept von (minimalen/maximalen) Spannbäumen in Graphen vertraut und betrachten zwei Lösungsalgorithmen, mit denen sich diese in einfachen Graphen schnell berechnen lassen.
Jupyter Notebook herunterladenDas bekannte Königsberger Brückenproblem aus dem 18. Jahrhundert beschäftigt sich mit der Frage, wie man die perfekte Route für einen Spaziergang findet. Erst der Mathematiker Leonard Euler konnte dieses Problem zuerst lösen. In diesem Notebook nehmen wir dieses Rätsel genau unter die Lupe, entwickeln selbst eine Lösung und untersuchen einen Lösungsalgorithmus.
Jupyter Notebook herunterladenWir betrachten Färbbarkeit eines Graphen näher. Den Vier-Farben-Satz haben wir bereits kennen gelernt; in diesem Projekt möchten wir uns unter anderem mit der leichteren Version, dem Fünf-Farben-Satz, beschäftigen.
Jupyter Notebook herunterladenEin Graph ist (einfach gesagt) planar, wenn man in zeichnen kann ohne, dass sich Kanten kreuzen. Diese zunächst einfache Überlegung birgt viel Tiefe mit welcher wir uns in diesem Notebook auseinandersetzen wollen. Wir werden verschiedene Ergebnisse auf anschauliche und nachvollziehbare Art beweisen und so eine starke notwendige Bedingung für Planarität herleiten.
Jupyter Notebook herunterladenDas lineare Optimierungsproblem zählt zu einem der wichtigsten und bekanntesten Probleme der kombinatorischen Optimierung. Unter anderem, weil es in so vielfältigen Bereichen eine Anwendung findet: z.B. in der Produktionsplanung, der Spieltheorie, Transportplanung, Landwirtschaft oder Marketingplanung lässt sich heute nicht mehr auf lineare Programme und seinen ältesten Lösungsalgorithmus, das Simplex-Verfahren, verzichten. Hier rechnen Sie selbst nach, was jeden Tag auf den Computern von mehreren Millionen Unternehmen in Deutschland passiert.
Jupyter Notebook herunterladenIn der kombinatorischen Optimierung spielt die Frage eine zentrale Rolle, wie man Ressourcen effizient verteilt, wenn Entscheidungen nur in ganzen Zahlen getroffen werden können. Solche Probleme lassen sich mit ganzzahligen linearen Programmen modellieren. In diesem Notebook werden die grundlegenden Konzepte eingeführt: lineare Programme, ihre Relaxierungen und der Simplex-Algorithmus als Lösungsmethode. Darauf aufbauend lernen wir das Branch-and-Bound-Verfahren kennen und sehen, wie klassische Fragestellungen wie das Knapsack-Problem oder das Matching-Problem mit diesen Methoden behandelt werden können.
Jupyter Notebook herunterladenEin Matching ist eine Menge von inzidenten Knotenpaaren, wobei jeder Knoten maximal einen Partner haben darf. In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit einer speziellen Form von Matchings: den maximalen Matchings. Mit Hilfe von maximalen Matchings kann man viele alltägliche Probleme lösen, z.B. wie man eine optimale Verteilung von Partnerarbeiten in einer Schulklasse findet. In diesem Notebook lernen auch Sie, wie das geht.
Jupyter Notebook herunterladenEin Matching ist eine Menge von inzidenten Knotenpaaren, wobei jeder Knoten maximal einen Partner haben darf. In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit einer speziellen Form von Matchings: den perfekten Matchings. Hier besitzt jeder Knoten genau einen Partnerknoten besitzt. In welchen Graphen lässt sich ein solches Matching finden? Und wo findet dieses graphentheoretische Konzept eine Anwendung im Alltag?
Jupyter Notebook herunterladenIn diesem Projekt machen wir einen kurzen Ausflug nach Hogsmeade und suchen eine optimale Shoppingtour, bei der die bekanntesten magischen Geschäfte des Dorfs abgeklappert werden sollen. In welcher Reihenfolge sollte man die Orte am besten besucht werden, wenn man sich möglichst schnell fortbewegen möchte? Wir lernen zwei Algorithmen kennen, mit denen wir auf diese Frage eine Antwort finden können.
Jupyter Notebook herunterladenEin Matching ist eine Zuordnung zwischen zwei Mengen von Teilnehmenden, zum Beispiel zwischen Lehrer:innen und Schulen. Ein Matching heißt stabil, wenn es keine zwei Beteiligten gibt, die lieber miteinander verbunden wären als mit ihrem aktuellen Partner. In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit genau solchen stabilen Matchings. Dabei lernen wir, wie man Präferenzen berücksichtigt, warum instabile Lösungen zu Konflikten führen und wie man mit einem einfachen Algorithmus stets eine faire und stabile Zuordnung finden kann.
Jupyter Notebook herunterladenWie lässt sich der Durchsatz in einem Netzwerk optimieren, wenn Straßen, Leitungen oder Verbindungen nur begrenzte Kapazitäten haben? Mit dieser Frage beschäftigt sich die Flussoptimierung in der Graphentheorie. In diesem Notebook lernen wir die zentralen Konzepte: Netzwerke und Residualnetzwerke, den Begriff des (s,t)-Flusses, Flusserhaltung, Flusswert und Schnitte. Auf dieser Grundlage wird gezeigt, wie man mit passenden Algorithmen den maximal möglichen Fluss durch ein Netzwerk berechnet.
Jupyter Notebook herunterladenEs sollen n ganze Zahlen der Größe nach sortiert werden, welche Möglichkeiten gibt es, welche Vorteile haben diese? In einem jupyter-Notebook sollen diese umgesetzt werden und die Laufzeit verglichen werden. Beispiele sind Bubble-, Quick-, Merge-Sort.
Juypter Notebook herunterladenDie Spieltheorie, wie Conway sie erforscht hat, betrachtet insb. zwei-Spieler-Spiele und interessiert sich dafür, welcher Spieler gewinnt bzw. verliert. Dabei unterteilt man große Spiele in Teilspiele, die sich getrennt analysieren lassen. In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit der Formalisierung des Spiels Domineering. Dazu führen wir eine neue Zahlenmenge die Games ein, die eine Erweiterung der surrealen Zahlen sind.
Juypter Notebook herunterladenEntscheidungssituationen, in denen die eigene Entscheidung von der Entscheidung Anderer abhängt. Wir starten mit dem klassischen Beispiel des Gefangenendilemmas und entwickeln daraus eine Logik, die zu einem Nash-Gleichgewicht - also einer Entscheidung, in der keine beteiligte Person Anreize hat, von ihrer Entscheidung abzurücken - führt.
Juypter Notebook herunterladenWie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 richtige zu haben? Dieses und einige weitere Beispiele aus der Welt der Kombinatorik wollen wir formalisieren, lösen und anderen scheinbaren Paradoxa auf die Schliche kommen.
Juypter Notebook herunterladenEin lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema, in dem in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Symbol genau einmal vorkommt. Klingt simpel – und doch steckt dahinter ein faszinierendes mathematisches Konzept. In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften und Anwendungen lateinischer Quadrate. Wir lernen, wo sie im Alltag nützlich sind, wie sie mit Verknüpfungstafeln und Quasigruppen zusammenhängen und warum orthogonale lateinische Quadrate (MOLS) eine besondere Rolle spielen.
Juypter Notebook herunterladenIn der Analysis ist man gewohnt mit reellen Funktionen zu rechnen. Was passiert nun, wenn man den Definitionsbereich der reellen Zahlen durch komplexe Zahlen ersetzt? In diesem neuen Kontext ergeben sich sowohl Gemeinsamkeiten als auch Unterschiede, die wir genauer erkunden werden. Um dies zu tun, starten wir erneut mit dem Thema Differentiation und beleuchten, wie sich die Dinge verändern.
Juypter Notebook herunterladenSie haben sich in ihrem Mathematikstudium intensiv mit den reellen Zahlen beschäftigt. Aber warum sind die reellen Zahlen eigentlich so eine natürliche Konstruktion, dass sie so einen wichtigen Platz in ihrem Studium einnehmen? In diesem Notebook werden wir uns die reellen Zahlen auf natürlichem Wege selbst herleiten, indem wir von der sogenannten Vervollständigung Gebrauch machen, die man so für jeden metrischen Raum durchführen kann. Dabei werden wir wichtige, topologische Begriffe diskutieren.
Juypter Notebook herunterladenDas Riemann-Integral ist aus der Analysis bekannt, stößt jedoch an Grenzen, wenn Funktionen stark oszillieren oder Mengen komplizierte Strukturen haben. Um auch solche Fälle zu behandeln, wurde das Lebesgue-Integral entwickelt. In diesem Notebook erarbeiten wir die Definition und die grundlegenden Eigenschaften des Lebesgue-Integrals. Dabei spielen Begriffe der Mengenlehre und der Maßtheorie eine zentrale Rolle: sigma-Algebren, Maße und die spezielle Notation für disjunkte Vereinigungen. Diese Werkzeuge ermöglichen eine präzisere und allgemeinere Form des Integrierens, die weit über das Riemann-Integral hinausgeht.
Juypter Notebook herunterladenDie Frage nach der optimalen Route zwischen zwei weit entfernten Orten auf der Erde führt direkt zu einem klassischen Problem der Geometrie: der Bestimmung kürzester Wege auf einer Kugel. In diesem Notebook wird gezeigt, wie sich die Suche nach der kürzesten Flugstrecke auf die Untersuchung der kürzesten Wege auf der Einheitssphäre zurückführen lässt. Dazu lernen wir wichtige Werkzeuge kennen: die euklidische Metrik, die innere Metrik, Kugelkoordinaten, Breitengrade, Großkreise sowie Rotationen im R^3. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Länge eines kürzesten Weges zwischen zwei Punkten auf der Kugel explizit berechnen.
Juypter Notebook herunterladenDie klassische Geometrie geht auf Euklid zurück, der in seinen Elementen mit wenigen Postulaten ein ganzes mathematisches Gebäude errichtete. Besonders hervor sticht dabei das Parallelenaxiom, dessen Sonderstellung Mathematikerinnen und Mathematiker über Jahrhunderte beschäftigte. In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der nicht-euklidischen Geometrie, die aus der Verneinung des Parallelenaxioms entsteht. Zentrale Konzepte sind die Definition der Gaußschen Krümmung und die Analyse geometrischer Strukturen, die sich aus alternativen Axiomensystemen ergeben.
Juypter Notebook herunterladenIn diesem Notebook fragen wir uns, was für Eigenschaften ein Raum überhaupt haben muss, damit man in ihm sinnvoll von Konvergenz sprechen kann. Dadurch kommen wir auf natürliche Art und Weise zum Begriff des topologischen Raums. Auf dem Weg dort hin beleuchten wir, wie Mathematiker überhaupt zu neuen Definitionen kommen und abstrahieren eigenständig bekannte Konzepte.
Jupyter Notebook herunterladenStrukturen sind ein zentrales Konzept in der modernen Mathematik. Mit ihnen lassen sich komplexe Zusammenhänge beschreiben, vergleichen und abstrahieren. Ein wichtiger Baustein dafür ist der lokale Isomorphismus: Er erlaubt es, Teile zweier Strukturen so zu vergleichen, dass ihre Eigenschaften erhalten bleiben. In diesem Notebook lernen wir, was lokale Isomorphismen sind, wie sie auf Graphen angewendet werden können und welche Rolle dabei die Prädikatenlogik spielt. Wir betrachten außerdem grundlegende Sätze, die Strukturen voneinander unterscheiden.
Jupyter Notebook herunterladenMatrix Zerlegungen sind wichtige Werkzeuge, um Matrizen vergleichbarer zu machen und aus den vielen Informationen einer Matrix, genau die nötigen zu extrahieren. Wie man mit solchen z.B. Bilder komprimieren oder Gleichungssysteme einfacher lösen kann, wollen wir uns in diesem Notebook anschauen.
Jupyter Notebook herunterladenEine Isometrie ist eine abstandserhaltende Abbildung zwischen metrischen Räumen, also Räumen in denen wir abstand messen können. Wir wollen uns solceh Abbildungen für den Fall des $\R^3$ genauer anschauen und die verschiedenen Möglichkeiten solcher Abbildungen mathematisch anschaulich klassifizieren.
Jupyter Notebook herunterladenViele natürliche Prozesse sind von dynamischer Natur. Beim Versuch, diese Prozesse zu modellieren, sto en wir häufig auf Gleichungen, die Funktionen und ihre Ableitungen beinhalten. Einige dieser Gleichungen gehören zur Kategorie der linearen Differentialgleichungen, die vergleichsweise leichter zu behandeln sind. In diesem Notebook werden wir uns intensiv mit diesen Differentialgleichungen auseinandersetzen, ihr Verständnis vertiefen und Lösungswege ergründen.
Jupyter Notebook herunterladenNumerische Verfahren sind das Rückgrat moderner Wissenschaft und Technik. Doch wie zuverlässig sind die Ergebnisse, wenn schon kleine Rundungsfehler große Folgen haben können? In diesem Notebook beschäftigen wir uns mit den zentralen Begriffen der Fehleranalyse: der Kondition eines Problems und der Stabilität eines Algorithmus. Dabei lernen wir, wie sich Fehler quantifizieren, abschätzen und durch geeignete Verfahren verringern lassen.
Jupyter Notebook herunterladenNach dem Herunterladen kann die Datei wie jedes andere Jupyter Notebook geöffnet werden, sofern eine passende Python-Umgebung mit Jupyter installiert ist.
Ohne Installation können Notebooks direkt im Browser, zum Beispiel mit Google Colab geöffnet, werden. Ein Google-Account ist für Colab erforderlich, es gibt auch Alternativen wie Binder
Schritt 1: Google Colab im Browser aufrufen und anmelden.
Schritt 2: Notebook öffnen. Dazu im Menü Datei → Notebook hochladen → Hochladen wählen und die heruntergeladene .ipynb-Datei auswählen.
Schritt 3: Das Notebook startet direkt im Browser und kann sofort ausgeführt werden.
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